Jikabanyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y, sistem persamaan linier dua variabel dari pernyataan di atas adalah Pembahasan: Motor = x Mobil = y motor dan mobil terdapat 25 buah kendaraan = x + y = 25 Jumlah roda seluruhnya 80 buah = 2x + 4y = 80 Jadi, jawaban yang tepat A. 2. 1 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px 2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat b. SistemPersamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV Banyak persoalan pada bidang sains bisnis dan juga teknik yang melibatkan dua atau lebih persamaan dalam dua atau lebih variabel. Contoh Soal Sistem Persamaan Atau Pertidaksamaan Linear Atau Kuadrat Dua Variabel. 11 20 Soal Persamaan Kuadrat Beserta Pembahasan. Y 2×2 3x. Haloapakabar pembaca JawabanSoal.id! Kamu sedang ada di situs yang tepat jikalau anda sedang mencari jawaban atas soal berikut : Amatilah lingkungan di sekitarmu Carilah dan catatlah informasi tentang masalah sehari-hari yang ber. Kita semua terkadang mempunyai pertanyaan-pertanyaan yang agak sulit dijawab. Terkadang kita butuh suatu jawaban yang sebenar benarnya tentang pertanyaan dan PembahasanSoal Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (SPLSV) & SPTLSV | part 1 1. Berikut ini merupakan kalimat tertutup, kecuali a. Ibu kota Singapura adalah Kuala Lumpur b. Delapan dikurangi tiga sama dengan lima c. Bandung adalah bagian dari Jawa Barat d. Presiden pertama Amerika bernama m. Persamaanberikut yang merupakan persamaan linear dua variabel adalah a. 8a - b = 7 b. 4 + b = 8 c. 2 - 3x = 1 d. x2 + 2x = 8 Jawab: Pilihan A merupakan persamaan linear 2 variabel. Dengan variabel a dan b. Jawaban yang tepat A. 4. Diketahui persamaan linear dua variabel 6p - 5q = 11. Jika nilai p adalah 6, maka nilai q adalah a. 6 b. 5 c. 4 SistemPersamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px 2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat b. o07m. Hallo adik-adik... jika kalian mengalami kesulitan menentukan himpunan penyelesaian dari soal yang melibatkan persamaan dua variabel linear kuadrat dan persamaan kuadrat-kuadrat, maka artikel ini akan membantu kalian mengasah diri. Melalui berlatih soal, kakak harap kalian akan mulai memahaminya.. yuk kakak temani kalian belajar...1. Himpunan penyelesaian dari adalah...a. {-1,4, 2, 1}b. {2, 0, 1, -4}c. {3, -2, 4, 0}d. {-3, 7, 2, -3}e. {2, -1, 5, -1}JawabSubtitusikan persamaan y = x2 – 2x + 1 dalam persamaan x + y = 3x + x2 – 2x + 1 = 3x2 – x + 1 – 3 = 0x2 – x – 2 = 0x – 2x + 1 = 0x – 2 = 0 dan x + 1 = 0x = 2 x = -1selanjutnya kita cari nilai x = 2x + y = 32 + y = 3y = 3 – 2y = 1Untuk x = -1x + y = 3-1 + y = 3y = 3 + 1y = 4Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 4, 2, 1}Jawaban yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -2b. -1c. 1d. -1 atau 1e. -2 atau 3Jawab2x + 5y = 1 maka,2x = 1 – 5yx = 1-5y/2Subtitusikan x = 1-5y/2 dalam persamaan x2 + 5xy – 4y2 = -10Persamaan di atas kalikan dengan 41 – 10y + 25y2 + 25y – 25y2 – 16y2 = -401 – 10y + 25y2 + 10y – 50y2 – 16y2 = -40-41y2 = -40 – 1y2 = -41/-41y = √1y = ± 1Jadi, nilai y adalah -1 atau yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -5 atau 3b. -3 atau 5c. -6 atau 2d. 6 atau -2e. -6 atau -2JawabSubtitusikan y = -x2 + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2xy = 7 – 2x-x2 + 6x – 5 = 7 – 2x-x2 + 6x + 2x – 5 – 7 = 0-x2 + 8x – 12 = 0x2 – 8x + 12 = 0x – 6x – 2 = 0x – 6 = 0 atau x – 2 = 0x = 6 x = 2Selanjutnya cari nilai x = 6y = 7 – 2xy = 7 – 26y = 7 – 12y = -5Untuk y = 2y = 7 – 2xy = 7 – 22y = 7 – 4y = 3Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -2b. -1c. 2d. -1 atau 2e. -2 atau 3Jawabx + y = 1, makax = 1 – ySubtitusikan x = 1 – y dalam persamaan x2 + y2 = 51 – y2 + y2 = 51 – 2y + y2 + y2 = 52y2 – 2y + 1 – 5 = 02y2 – 2y – 4 = 0Bagi persamaan di atas dengan 2y2 – y – 2 = 0y – 2y + 1 = 0y – 2 = 0 atau y + 1 = 0y = 2 y = -1Jadi, nilai y adalah -1 atau 2Jawaban yang tepat Penyelesaian yang memenuhi persamaan y = x2 – 9x + 18 dan y = x2 – 6x adalah...a. 1, -6b. -6, 1c. 0, 6d. -6, 0e. 6, 0JawabSubtitusikan y = x2 – 9x + 18 pada persamaan y = x2 – 6xx2 – 9x + 18 = x2 – 6xx2 – x2 – 9x + 6x = -18-3x = -18x = -18/-3x = 6Selanjutnya cari nilai = x2 – 6xy = 62 – 66y = 36 – 36y = 0Maka, himpunan penyelesaian yang tepat adalah {6, 0}Jawaban yang tepat Titik potong antara kurva y = -x2 + x + 6 dan y = -5x + 15 adalah...a. -3, 0 dan 3, 0b. -3, 0c. 3, 0d. -3, 1e. 3, 1JawabSubtitusikan y = -x2 + x + 6 dalam persamaan y = -5x + 15-x2 + x + 6 = -5x + 15-x2 + x + 5x + 6 – 15 = 0-x2 + 6x – 9 = 0x2 - 6x + 9 = 0x – 3 x – 3 = 0x – 3 = 0x = 3Selanjutnya cari nilai = -5x + 15y = -53 + 15y = -15 + 15y = 0Jadi, titik potongnya adalah 3, 0.Jawaban yang tepat Agar persamaan garis y = mx + 8 memotong kurva y = x2 – 8x + 12 di dua titik, maka nilai m yang memenuhi adalah...a. m > 1b. 4 -4JawabSubtitusikan y = mx + 8 ke dalam persamaan y = x2 – 8x + 12mx + 8 = x2 – 8x + 12-x2 + mx + 8x + 8 – 12 = 0-x2 + m + 8x – 4 = 0Persamaan di atas memiliki nilai a = -1, b = m + 8 dan c = -4Karena memotong di dua titik, maka nilai D > 0D = b2 – 4acm + 82 – 4 -1 -4 > 0m2 + 16m + 64 – 16 > 0m2 + 16m + 48 > 0m + 12 m + 4 > 0m + 12 = 0 atau m + 4 = 0m = -12 m = -4Jadi, nilai m adalah m -4Jawaban yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 2 atau -3b. -2 atau 3c. 2 atau 3d. -2 atau -3e. 1 atau -3JawabSubtisusikan persamaan y = -x2 – 2x + 8 dalam persamaan y = x2 + 2-x2 – 2x + 8 = x2 + 2-x2 – x2 – 2x + 8 – 2 = 0-2x2 – 2x + 6 = 02x2 + 2x – 6 = 0Sederhanakan persamaan di atas dengan cara dibagi + x – 6 = 0x – 2 x + 3 = 0x – 2 = 0 atau x + 3 = 0x = 2 x = -3Jawaban yang tepat Agar kurva y = ax2 – a + 3x – 1 dan garis y – x + ½ = 0 bersinggungan, maka nilai a yang memenuhi adalah...a. ½ atau 2b. -2 atau 8c. -8 atau -2d. 8 atau 2e. -2 atau – ½ Jawaby – x + ½ = 0, makay = x – ½ Subtitusikan y = ax2 – a + 3x – 1 pada persamaan y = x – ½ax2 – a + 3x – 1 = x – ½ ax2 – a + 3x – x – 1 + ½ = 0ax2 – ax - 3x – x – ½ = 0ax2 – ax - 4x – ½ = 0ax2 – a + 4x – ½ = 0Persamaan di atas memiliki a = a , b = -a + 4 = -a - 4 dan c = -1/2 Karena garis dan kurva saling bersinggungan, maka nilai D = 0D = b2 – 4ac-a - 42 – 4a -1/2 = 0a2 + 8a + 16 + 2a = 0a2 + 10a + 16 = 0a + 2a + 8 = 0a + 2 = 0 atau a + 8 = 0a = -2 a = -8Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = -2 atau a = -8Jawaban yang tepat Sebuah garis lurus bergradien -3 diketahui memotong kurva y = 2x2 + x – 6 di titik 2, 4. Koordinat titik potong lainnya adalah...a. -4, 22b. 3, -2c. 7, 1d. 3, 1e. 4, 2JawabSebuah garis lurus bergradien -3 , maka nilai m = -3Untuk garis ax + by + c = 0 rumus m = -a/bm = -a/b = -3, maka nilai a = 3 dan b = 1Jadi, garisnya memiliki persamaan 3x + y + c = 0Karena titik potong yang pertama adalah 2, 4 maka ganti x dan y dengan 2 dan 4. 3x + y + c = 032 + 4 + c = 06 + 4 + c = 010 + c = 0c = -10Jadi, persamaan garisnya adalah 3x + y - 10 = 0 atau y = -3x + 10Selanjutnya kita cari titik potong yang y = 2x2 + x – 6 dalam persamaan y = -3x + 102x2 + x – 6 = -3x + 102x2 + x + 3x – 6 – 10 = 02x2 + 4x – 16 = 0Sederhanakan persamaan di atas dengan dibagi + 2x – 8 = 0x – 2 x + 4 = 0x – 2 = 0 atau x + 4 = 0x = 2 x = -4Kita cari nilai y dari x = -4 saja, karena yang x = 2 sudah diketahui di = -3x + 10y = -3 -4 + 10y = 12 + 10y = 22Maka, titik potongnya adalah -4, 22Jawaban yang tepat Persamaan garis yang menyinggung kurva x2 – y + 2x – 3 = 0 dan tegak lurus dengan garis 2y = x + 3 adalah...a. y + 2x + 7 = 0b. y + 2x + 3 = 0c. y + 2x + 4 = 0d. y + 2x – 7 = 0e. y + 2x – 3 = 0JawabPertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan – y + 2x – 3 = 0y = x2 + 2x – 3y’ = 2x + 2m1 = 2x + 2Kedua, cari m2 dari persamaan garis 2y = x + 32y = x + 3-x + 2y = 3m = -a/b m = -1/2m = ½ m2 = ½ Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . m2 = -12x + 2 ½ = -1x + 1 = -1x = -1 – 1x = -2Jika x = -2 maka cari nilai y dengan persamaan x2 – y + 2x – 3 = 0.-22 – y + 2-2 – 3 = 04 – y – 4 = 0y = 0Berarti titik singgungnya adalah -2, 0Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . ½ = -1m1 = -2Persamaan garis melalui titik -2, 0 dan gradien -2 adalahy – y1 = m x – x1y – 0 = -2 x – -2y = -2x – 4 y + 2x + 4 = 0Jadi, jawaban yang tepat Persamaan garis yang menyinggung kurva fx = - ½ x2 + 4x dan tegak lurus dengan garis x + 2y + 10 = 0 adalah...a. 2x – y + 1 = 0b. 2x + y + 2 = 0c. 2x – y + 2 = 0d. 2x + y – 2 = 0e. 2x + 2y – 2 = 0JawabPertama, cari m1 dengan cara menurunkan persamaan = - ½ x2 + 4x fx’ = -x + 4m1 = -x + 4Kedua, cari m2 dari persamaan garis x + 2y + 10 = 0x + 2y + 10 = 0 m = -a/b m = - ½ m2 = - ½ Karena saling tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . m2 = -1-x + 4 -½ = -1 ½ x - 2 = -1 ½ x = -1 + 2 ½ x = 1x = 2 Jika x = 2 maka cari nilai y dengan persamaan fx = - ½ x2 + 4xfx = - ½ x2 + 4x y = - ½ 22 + 42y = - ½ . 4 + 8y = -2 + 8y = 6Berarti titik singgungnya adalah 2, 6Selanjutnya cari persamaan garisnya. Karena tegak lurus, maka m1 . m2 = -1m1 . -½ = -1m1 = 2Persamaan garis melalui titik 2, 6 dan gradien 2 adalahy – y1 = m x – x1y – 6 = 2 x – 2y – 6 = 2x – 4y – 2x – 6 + 4 = 0y – 2x – 2 = 0 atau 2x – y + 2 = 0Jadi, jawaban yang tepat Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan berturut-turut adalah...a. 0 dan 2b. -2 dan 0c. 3 dan 0d. 0 dan 3e. -3 dan 0JawabSubtitusikan persamaan y = x – 3 dalam persamaan y = x2 – 2x – 3x2 – 2x – 3 = x – 3x2 – 2x – x – 3 + 3 = 0x2 – 3x = 0xx – 3 = 0x = 0 atau x – 3 = 0 x = 3Cari nilai yUntuk x = 0 maka y = x – 3y = 0 – 3y = -3Untuk x = 3 maka y = x – 3 y = 3 – 3y = 0Jadi, jawaban yang tepat adalah Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah....a. -1 dan 8b. -1 dan -6c. -1 dan 6d. 1 dan -6e. 1 dan 7JawabSubtitusikan y = x2 – 4x + 3 dalam persamaan y = 2x2 + 3x + 92x2 + 3x + 9 = x2 – 4x + 32x2 – x2 + 3x + 4x + 9 – 3 = 0x2 + 7x + 6 = 0x + 6x + 1 = 0x + 6 = 0 dan x + 1 = 0x = -6 x = -1Jadi nilai x yang memenuhi adalah -1 dan -6Jawaban yang tepat Nilai x yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 0 atau 6b. 0 atau -6c. 6d. 0e. -6JawabSubtitusikan y = 8x – x2 dalam y = 2x8x – x2 = 2x-x2 + 8x – 2x = 0-x2 + 6x = 0xx + 6 = 0x = 0 atau x + 6 = 0 x = -6Jadi, nilai x adalah 0 atau -6Jawaban yang tepat Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah...a. {-2, 1, 1, -2}b. {-1, 2, 2, -1}c. {-1, -2, 1, 2}d. {-1, -1, 2, 2}e. {1, 1, -2, -2}JawabCari bentuk lain dari persamaan x + y = 1x + y = 1x = 1 – ySubtitusikan x = 1 – y dalam persamaan x2 + y2 = 5x2 + y2 = 51 – y2 + y2 = 51 – 2y + y2 + y2 = 52y2 – 2y + 1 - 5 = 02y2 – 2y – 4 = 0 sederhanakan dengan cara dibagi 2y2 – y – 2 = 0y – 2y + 1 = 0y – 2 = 0 atau y + 1 = 0y = 2 y = -1Cari nilai xUntuk y = 2, maka x = 1 – yx = 1 – 2x = -1Untuk y = -1, maka x = 1 – yx = 1 – -1x = 2Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2, -1; -1, 2}Jawaban yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. -6 atau 2b. 6 atau -2c. 6 atau 2d. -3 atau 5e. -5 atau 3JawabSubtitusikan persamaan y = -x2 + 6x – 5 dalam persamaan y = 7 – 2x-x2 + 6x – 5 = 7 – 2x-x2 + 6x + 2x – 5 – 7 = 0-x2 + 8x – 12 = 0x2 – 8x + 12 = 0x – 2x – 6 = 0x – 2 = 0 atau x – 6 = 0x = 2 x = 6Selanjutnya kita cari nilai yUntuk x = 2, y = 7 – 2xy = 7 – 22y = 7 – 4y = 3Untuk x = 6, y = 7 – 2xy = 7 – 26y = 7 – 12y = -5Jadi, nilai y yang memenuhi adalah -5 atau yang tepat Nilai y yang memenuhi sistem persamaan adalah...a. 24 atau 36b. 42 atau 63c. 24 atau 63d. 24 atau 42e. 36 atau 63JawabSubtitusikan y = x2 + 6x + 8 dalam persamaan y = -x2 + 20x – 12x2 + 6x + 8 = -x2 + 20x – 12x2 + x2 + 6x – 20x + 8 + 12 = 02x2 – 14x + 20 = 0 sederhanakan dengan bagi 2x2 – 7x + 10 = 0x – 5 x – 2 = 0x – 5 = 0 atau x – 2 = 0x = 5 x = 2Selanjutnya cari nilai yUntuk x = 5, y = x2 + 6x + 8y = 52 + 65 + 8y = 25 + 30 + 8y = 63Untuk x = 2, y = x2 + 6x + 8y = 222 + 62 + 8y = 4 + 12 + 8y = 24Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 24 atau yang tepat Himpunan penyelesaian dari adalah...a. {3, 0}b. {0, -3}c. {-3, 0}d. {6, -3}e. {-6, 3}JawabSubtitusikan y = -x2 + x + 6 dalam persamaan y = 15 – 5x-x2 + x + 6 = 15 – 5x-x2 + x + 5x + 6 – 15 = 0-x2 + 6x – 9 = 0x2 – 6x + 9 = 0x – 3x – 3 = 0x – 3 = 0x = 3Selanjutnya cari nilai yUntuk x = 3, y = 15 – 5xy = 15 – 53y = 15 – 15y = 0Maka, himpunan penyelesaiannya adalah {3, 0}Jawaban yang tepat Agar kurva y = mx2 + x – 2 bersinggungan dengan garis y = 1 – 2x maka nilai m yang memenuhi adalah...a. -3b. -1c. – ¾ d. ½ e. 4JawabSubtitusikan y = mx2 + x – 2 dengan y = 1 – 2xmx2 + x – 2 = 1 – 2xmx2 + x + 2x – 2 – 1 = 0mx2 + 3x – 3 = 0Karena bersinggungan, maka nilai D = 0mx2 + 3x – 3 = 0, memiliki a = m, b = 3, dan c = -3d = 0b2 – 4ac = 032 – 4 . m . -3 = 09 + 12m = 012 m = -9m = -9/12m = - ¾ Jadi, jawaban yang tepat sampai disini dulu ya... semoga materi ini bermanfaat untuk kalian... sampai bertemu di materi selanjutnya... Pada kesempatan kali ini ID-KU akan memposting artikel tentang "MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV". Materi ini merupakan lanjutan dari artikel sebelumnya MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat. 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2 c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2 d. Himpunan penyelesaiannya adalah {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D -x2 + 5x - 6 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 x - 3x - 2 = 0 x1 = 3 atau x2 = 2 Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0 Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,-1,3,0} -> Jawaban A Baca Juga Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear 2. Sistem Persamaan Kuadrat SPK Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut dengan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real Langkah-langkah menyelesaikan SPK Substitusikan persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat memiliki 6 kemungkinan, yaitu Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D 2x2 -8 = 0 x2 - 4 = 0 x - 2x + 2 = 0 x = 2 atau x = -2 Untuk x = 2 y = x2 - 2x - 3 y = 22 -2 2 - 3 y = 4 - 4 - 3 y = -3 Untuk x = -2 y = x2 - 2x - 3 y = -22 -2 -2 - 3 y = 4 + 4 - 3 y = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2,5,2,-3} -> Jawaban C Contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat materi matematika kelas 10 SMA. Persamaan linier dua variabel x dan y digabungkan dengan persamaan yang mengandung x2 atau y2 SPLK dan SPLDV. Soal No. 1 Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut i y = 2x + 3 ii y = x2 − 4x + 8 Tentukan himpunan penyelesaian Hp dari kedua persamaan tersebut di atas! Pembahasan Substitusikan y dari persamaan i ke y pada persamaan ii, atau sebaliknya dari ii ke i, lanjutkan dengan operasi aljabar. x2 − 4x + 8 = 2x + 3 x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0 x2 − 6x + 5 = 0 Berikutnya faktorkan x2 − 6x + 5 = 0 x − 1x − 5 = 0 Dapatkan nilai x yang pertama x − 1 = 0 x = 1 Dapatkan nilai x yang kedua x − 5 = 0 x = 5 Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan i Untuk x = 1 maka y = 2x + 3 y = 21 + 3 y = 2 + 3 y = 5 Dari sini didapatkan pasangan x, y yaitu 1, 5 Untuk x = 5 maka y = 2x + 3 y = 25 + 3 y = 10 + 3 y = 13 Dari sini didapatkan pasangan x, y yaitu 5, 13 Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp {1, 5, 5, 13} Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi. Soal No. 2 Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut i y = 5x + 4 ii y = x2 + 13x − 16 Pembahasan x2 + 13x − 16 = 5x + 4 x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0 x2 + 8x − 20 = 0 x + 10x − 2 = 0 Nilai x yang pertama x + 10 = 0 x = − 10 Nilai x yang kedua x − 2 = 0 x = 2 Nilai-nilai y, dari persamaan pertama Untuk x = − 10 didapat nilai y y = 5x + 4 y = 5−10 + 4 = − 46 Untuk x = 2, didapat nilai y y = 5x + 4 y = 52 + 4 = 14 Hp {− 10, − 46, 2, 14} Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya. Soal No. 3 Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut i x − y = 5 ii x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas! Pembahasan i x − y = 5 ii x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk “kuadrat dalam kuadrat” seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan ii maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 a = 1 b = − 6y c = 9y2 − 9 Sehingga x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 x − 3y − 3x − 3y + 3 = 0 Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu x − 3y − 3 = 0 …..iii x − 3y + 3 = 0 …..iv Dari persamaan ii dan iii x − y = 5 x − 3y = 3 _________ _ 2y = 2 y = 1 x − y = 5 x − 1 = 5 x = 6 Dari persamaan ii dan iv x − y = 5 x − 3y = − 3 ___________ _ 2y = 8 y = 4 x − y = 5 x − 4 = 5 x = 9 Sehingga penyelesaiannya adalah {6, 1, 9, 4} Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut. y = ax2 + bx + c ……………. bagian kuadrat pertama y = px2 + qx + r ……………. bagian kuadrat kedua Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1 Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru. Langkah 2 Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama. Langkah 3 Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana. Contoh Soal 1 Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya. y = x2 y = 2x2 – 3x Jawab Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh ⇒ x2 = 2x2 ⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0 ⇒ x2 – 3x = 0 ⇒ xx – 3 = 0 ⇒ x = 0 atau x = 3 Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2. Untuk x = 0 diperoleh ⇒ y = x2 ⇒ y = 02 ⇒ y = 0 Untuk x = 3 diperoleh ⇒ y = x2 ⇒ y = 32 ⇒ y = 9 Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {0, 0, 3, 9}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini. Contoh Soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya. y = x2 – 1 y = x2 – 2x – 3 Jawab Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh ⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3 ⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1 ⇒ 2x = –2 ⇒ x = –1 Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh ⇒ y = x2 – 1 ⇒ y = –12 – 1 ⇒ y = 1 – 1 ⇒ y = 0 Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {–1, 0}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di –1, 0. Perhatikan gambar di bawah ini. Contoh Soal 3 Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya. y = −2x2 y = x2 + 2x + 1 Jawab Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh ⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1 ⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0 Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini. D = b2 – 4ac Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga ⇒ D = 22 – 431 ⇒ D = 4 – 12 ⇒ D = –8 Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini. Contoh Soal 4 Misalkan diketahui SPKK berikut ini. y = 3x2 + m y = x2 – 2x – 8 Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu. Jawab Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut. 1 Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian parabola berpotongan di dua titik. 2 Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan. 3 Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian parabola tidak berpotongan atau bersinggungan. Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh ⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 8 ⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 0 ⇒ 2x2 + 2x + 8 + m = 0 Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga ⇒ b2 – 4ac = 0 ⇒ 22 – 428 + m = 0 ⇒ 4 – 88 + m = 0 ⇒ 4 – 64 – 8m = 0 ⇒ –60 – 8m = 0 ⇒ 8m = –60 ⇒ m = –60/8 ⇒ m = –15/2 ⇒ m = –7,5 Dengan demikian nilai m adalah –7,5. Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut. ⇒ 2x2 + 2x + 8 + m = 0 ⇒ 2x2 + 2x + 8 + –7,5 = 0 ⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 0 Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2 ⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0 Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x ⇒ 2x + 12 = 0 ⇒ 2x + 1 = 0 ⇒ 2x = −1 ⇒ x = −1/2 Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh ⇒ y = x2 – 2x – 8 ⇒ y = −1/22 – 2−1/2 – 8 ⇒ y = 1/4 + 1 – 8 ⇒ y = 1/4 –7 ⇒ y = −27/4 Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {−1/2, −27/4}. Pada kesempatan kali ini ID-KU akan memposting artikel tentang "MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat". Pada postingan ini, akan dijelaskan cara menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear. 1. Sistem Persamaan Linear a. Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Benjtuk umum persamaan linear satu variabel adalah ax + b = c, dengan a ≠0 b. Persamaan linear dua veriabel adalah persamaan linear yang mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel ax + by = c, dengan a ≠0 dan b≠0 2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel SPLDV Sistem persamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang dua buah persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut dengan Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan metode-metode di bawah ini a. Metode grafrik b. Metode subtitusi c. Metode eliminasi d. Metode eliminasi-subtitusi a. Metode Grafik Metode grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkah menggambar grafik Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesisus dengan menggunakan metode titik potong sumbu Bila kedua garis berpotongan pada sebuah titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu {x,y}. Bila kedua garis itu sejajar tidak berpotongan maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, yaitu {} himpunan kosong Bila kedua garis itu berimpit, maka himpanan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak banyak hingganya. Contoh soal EBTANAS 2000 Jika x dan y memenuhi sistem persamaan Nilai x + y sama dengan ..... A. 6 B. 4 C. -2 D. -6 E. -8 Pembahasan Grafik persamaan garis 2x + y = 5 * Titik potong dengan sumbu x, maka y = o 2x + 0 = 5 2x = 5 x = 5/2 Titik potongnya 5/2 , 0 * Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 20 + y = 5 y = 5 Titik potong 0,5 Grafik persamaan garis 3x - 2y = -3 * Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0 3x - 20 = -3 x = -1 Titik potong -1,0 * Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0 30 - 2y = -3 y = 3/2 Titik potong 0, 3/2 Garis 2x + y = 5 dan garis 3x - 2y = -3 berpotongan di titik 1,3 yang berarti x = 1 dan y = 3. Jadi, x + y = 1 + 3 = 4 -> Jawaban B. 4 b. Metode Subtitusi Metode subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain. Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebegai fungsi x Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya Contoh Soal Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah . . . . . A. {2,2} B. {2,4} C. {4,2} D. {1,2} E. {2,1} Pembahasan Dari persamaan 4x + y = 12 y = 12 - 4x .......1 Subtitusi persamaan 1 ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh 2x + 12 - 4x = 8 2x + 12 - 4x = 8 -2x = 8 - 12 -2x = -4 x = 2 Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan 1 diperoleh y = 12 - 42 y = 12 - 8 y = 4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,4} -> Jawaban B c. Metode Eliminasi Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi 1. Perhatikan koefisien x atau y a. Jika koefisiennya sama i Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama ii Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya. 2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya. Contoh soal Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah { Nilai p - q = ..... A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2 Pembahasan Mengeliminasi variabel x 7x + 5y = 2 x5 35x + 25y = 10 5x + 7y = -2 x7 35x + 49y = -14 - -24y = 24 y = -1 Mengeliminasi variabel y 7x + 5y = 2 x7 49x + 35y = 14 5x + 7y = -2 x5 25x + 35y = -10 - 24x = 24 x = 1 Himpunan penyelesaiannya {p,q} = {-1,1} Nilai p - q = 1-1 = 2 -> Jawaban D d. Metode Eliminasi-Subtritusi Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua. Contoh Soal Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga.... Pembahasan Misal Barang A = A dan Barang B = B Diketahui Rabil => 4A + 2B = 4000 8A + 4B = 8000 Mazlan => 10A + 4B = 9500 Alif => A + B = .....? Dengan menggunakan eliminasi 8A + 4B = 800010A + 4B = 9500 - -2A = -1500 A = 750 Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh 4750 + 2B = 4000 3000 + 2B = 4000 2B = 1000 B = 500 Maka A + B = 750 + 500 = Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp

soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel